在研究级数的收敛性时，存在两种重要的概念：绝对收敛和条件收敛。了解这两者的区别对于深入理解级数的收敛性质非常重要，特别是在考研阶段，这也是一个常考的知识点。
1. 定义与基本概念
绝对收敛：如果数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的各项绝对值构成的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，那么原级数称为绝对收敛。
条件收敛：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，但其各项绝对值构成的级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 发散，那么原级数称为条件收敛。
2. 条件收敛是否是不完全的收敛？
可以理解为条件收敛是一种“较弱”的收敛，因为它只满足级数本身的收敛性，但不满足绝对值级数的收敛性。从某种意义上说，条件收敛可以被视为一种“不完全”的收敛，因为它缺乏绝对收敛所具有的某些良好性质，例如对项的重排不影响级数的和等。
3. 主要区别
- 收敛性强弱：绝对收敛的级数一定收敛（根据绝对收敛必收敛定理），但条件收敛的级数虽然收敛，其绝对值级数却发散。
- 重排定理：对于绝对收敛的级数，无论如何重排其项，级数的和不变。但对于条件收敛的级数，经过适当的重排，可以使级数的和等于任何给定的实数，甚至发散（雷曼重排定理）。
4. 数学原理
- 绝对收敛必收敛定理：如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|$ 收敛，那么 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛。
- 雷曼重排定理：对于条件收敛的级数，通过适当的重排，可以使其和等于任何实数，或者使其发散。
这些定理表明，绝对收敛级数具有更好的收敛性质，其收敛性不受级数项的排列影响，而条件收敛级数的收敛性则相对脆弱。
5. 举例
例1：调和级数的交错形式
考虑交错调和级数：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots $$
该级数收敛（根据莱布尼茨判别法），但其绝对值级数是发散的调和级数：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $$
因此，交错调和级数是条件收敛的。
例2：$p$-级数
对于 $p>1$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ 绝对收敛，因为：
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{1}{n^p} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $$
收敛（$p$-级数收敛条件）。
但对于 $p=1$，调和级数发散，而其交错形式条件收敛，如例1所示。
例3：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$
该级数收敛（满足莱布尼茨判别法的条件），但其绝对值级数
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} $$
是发散的（因为 $p=\frac{1}{2} \leq 1$），因此原级数是条件收敛的。
